Take Flight 에서 Take는 기본적으로 잡다, 취하다, 택하다를 뜻하는 동사입니다.

그리고 Flight는 비행, 날기를 뜻하는 외에 도피, 탈출을 뜻하는 단어입니다.

그러니까 Take Flight의Take 없이 Flight만으로도 탈출, 도피, 탈퇴를 뜻하는데요 무엇으로부터 빠져나가다, 탈퇴하다, 이탈하다를 뜻할 때 특히 Take Flight라는 idiom을 사용합니다.

문장을  봅니다.  

(이 문장에서 breakaway faction의 faction은 미국 노조의 한 단체를 가리킵니다.)

The leaders of breakaway faction said they are Taking Flight because of distress over the AFL-CIO’s ineffectiveness in stopping the decline in union membership.

문장을 풀이하면,

of breakaway faction
이탈한 노조의

The leaders
지도자들은

in stopping the decline in union membership 
노조 회원의 감소를 막는데 있어서

over the AFL-CIO’s ineffectiveness
미노동총연맹산업별회의 AFL-CIO의 무능력에 대한

because of distress
고민 때문에

said they are Taking Flight
그들이 탈퇴하는 것이라고 말했습니다.