Hold the Bag에서Hold는 붙잡다, 쥐다, 들다라는 뜻이고 Bag은 자루, 가방, 핸드백을 뜻합니다. 그러니까 Hold the Bag 은 낱말 뜻대로 하면 자루를 쥐다, 가방을 들다라는 말이지만 이 말은 아무 소득없이 빈털터리가 되다, 책임, 비난을 혼자 떠맡다라는 뜻으로 사용되는 idiom입니다.

이 문장에서 The last minute switch는 앞의 문장에서 말하는 로드니 알렉산더의 등록변경을 가리킵니다.

The last minute switch adds one seat to the narrow House Republican majority and leaves the Democrats Holding the Bag.

The last minute switch 마지막 순간의 소속정당 변경은 adds one seat to the narrow House Republican majority 가까스로 하원의 다수당이 돼 있는 공화당에게 1석을 더해 주었고 and leaves the Democrats Holding the Bag 민주당을 빈털터리로 만들었습니다.